Разложение Шмидта обнаруживает запутанность

Докажите, что по разложению Шмидта можно определить, является ли чистое состояние запутанным или произведением. В частности, докажите, что чистое двусоставное состояние запутано тогда и только тогда, когда у него больше одного коэффициента Шмидта. Сначала предположите, что у чистого двусоставного состояния $|\phi\rangle_{AB}$ только один коэффициент Шмидта. Докажите, что максимальный квадрат модуля его перекрытия с состоянием-произведением равен единице:

$$\max_{|\varphi\rangle_{A},|\psi\rangle_{B}}\left\vert \langle\varphi |_{A}\otimes\langle\psi|_{B}|\phi\rangle_{AB}\right\vert ^{2}=1.$$

Теперь пусть у состояния $|\phi\rangle_{AB}$ больше одного коэффициента Шмидта. Докажите, что максимальный квадрат модуля его перекрытия с состоянием-произведением строго меньше единицы (поэтому состояние нельзя записать в виде произведения):

$$\max_{|\varphi\rangle_{A},|\psi\rangle_{B}}\left\vert \langle\varphi |_{A}\otimes\langle\psi|_{B}|\phi\rangle_{AB}\right\vert ^{2}<1.$$

(Подсказка. Воспользуйтесь Шмидтом! Воспользуйтесь Шварцем! В смысле — неравенством Коши — Шварца.)