Сложение вероятностей ортогональных событий

Покажите, что $\operatorname{Tr}\left\{ \Pi(A\cup B)\rho\right\} =\Pr \{A\}+\Pr\{B\}$, если проекторы $\Pi(A)$ и $\Pi(B)$ удовлетворяют условию $\Pi(A)\Pi(B)=0$, а оператор плотности $\rho$ диагонален в том же базисе, что и $\Pi(A)$ и $\Pi(B)$.