Верхняя граница вероятности распознавания состояний

Пусть имеется ансамбль $\left\{ p_{X}( x) ,\rho _{x}\right\} $ операторов плотности и измерение положительными операторами с элементами $\left\{ \Lambda_{x}\right\} $, которое должно распознавать состояния $\rho_{x}$ с высокой вероятностью, то есть желательно, чтобы $\operatorname{Tr}\left\{ \Lambda_{x} \rho_{x}\right\} $ было как можно больше. Средняя вероятность успеха измерения тогда равна

$$\sum_{x}p_{X}( x) \operatorname{Tr}\left\{ \Lambda_{x} \rho_{x}\right\} .$$

Предположим, что существует оператор $\tau$, такой что

$$\tau\geq p_{X}( x) \rho_{x},$$

где условие $\tau\geq p_{X}( x) \rho_{x}$ равносильно $\tau-p_{X}( x) \rho_{x}\geq0$ (то есть оператор $\tau-p_{X}( x) \rho_{x}$ положительно полуопределён). Докажите, что $\operatorname{Tr}\left\{ \tau\right\} $ — верхняя граница средней вероятности успеха измерения. Затем рассмотрите кодирование $n$ битов в $d$-мерном подпространстве. Выбирая состояния равновероятно (для ансамбля $\left\{ 2^{-n},\rho_{i}\right\} _{i\in\left\{ 0,1\right\} ^{n}}$), покажите, что средняя вероятность успеха не превосходит $d 2^{-n}$. Таким образом, невозможно сохранить больше $n$ классических битов в $n$ кубитах и затем извлечь их с вероятностью успеха, равной единице.