Частичный след элементарного тензорного оператора

Покажите, что два определения операции частичного следа согласуются. Иными словами, покажите, что

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{B}\left\{ \vert x_{1}\rangle\langle x_{2}\vert_{A} \otimes\vert y_{1}\rangle\langle y_{2}\vert_{B}\right\} & =\sum_{i}\langle i\vert_{B}\left( \vert x_{1}\rangle\langle x_{2}\vert_{A}\otimes\vert y_{1}\rangle\langle y_{2}\vert_{B}\right) \vert i\rangle_{B}\\ & =\vert x_{1}\rangle\langle x_{2}\vert_{A} \left\langle y_{2} |y_{1}\right\rangle , \end{aligned}$$

для некоторого ортонормированного базиса $\{\vert i\rangle_{B}\}$ системы Боба.