Маргинальное распределение как частичный след

Рассмотрим оператор плотности, который представляет совместное распределение вероятностей $p_{X,Y}( x,y) $ в виде двусоставного квантового состояния:

$$\rho=\sum_{x,y}p_{X,Y}( x,y) \vert x\rangle\langle x\vert\otimes\vert y\rangle\langle y\vert,$$

где каждое из множеств состояний $\left\{ \vert x\rangle\right\} _{x}$ и $\left\{ \vert y\rangle\right\} _{y}$ образует ортонормированный базис. Покажите, что в этом случае взятие частичного следа по второй системе равносильно вычислению маргинального распределения $p_{X}( x) =\sum_{y}p_{X,Y}( x,y) $ совместного распределения $p_{X,Y}( x,y) $. Иными словами, остаётся оператор плотности вида

$$\sum_{x}p_{X}( x) \vert x\rangle\langle x\vert.$$

Имейте в виду, что частичный след обобщает переход к маргинальному распределению: он применим и к более сложным квантовым состояниям, помимо приведённого «классического» состояния.