Равномерное усреднение по Паули

Покажите, что случайное применение операторов Паули $I$, $X$, $Y$, $Z$ с равными вероятностями к любому оператору плотности даёт максимально смешанное состояние:

$$\frac{1}{4}\rho+\frac{1}{4}X\rho X+\frac{1}{4}Y\rho Y+\frac{1}{4}Z\rho Z=\pi.$$

(Подсказка. Представьте оператор плотности как $\rho=\left( I+r_{x}X+r_{y} Y+r_{z}Z\right) /2$ и воспользуйтесь правилами коммутации операторов Паули.) Эту операцию называют усреднением по сопряжениям.