Равномерное усреднение кудита

Покажите, что случайное применение операторов Гейзенберга — Вейля

$$\left\{ X( i) Z( j) \right\} _{i,j\in\left\{ 0,\ldots,d-1\right\} }$$

с равными вероятностями к любому оператору плотности кудита даёт максимально смешанное состояние $\pi$:

$$\frac{1}{d^{2}}\sum_{i,j=0}^{d-1}X( i) Z( j) \rho Z^{\dagger}( j) X^{\dagger}( i) =\pi.$$

(Подсказка. Можно выполнить вычисление полностью или представить канал как композицию двух каналов полной дефазировки: первый выполняет дефазировку в вычислительном базисе, второй — в сопряжённом.)