Энтропия и когерентная информация через две корреляции

Рассмотрим чистое состояние $|\phi\rangle_{ABE}$ систем $ABE$. Разложение Шмидта относительно разбиения $A | BE$ позволяет записать $|\phi\rangle_{ABE}$ в виде

$$|\phi\rangle_{ABE}=\sum_{x}\sqrt{p_{X}(x)}|x\rangle_{A}\otimes|\phi_{x}\rangle_{BE},$$

для некоторых ортонормированных состояний $\{|x\rangle_{A}\}_{x\in\mathcal{X}}$ системы $A$ и ортонормированных состояний $\{|\phi_{x}\rangle_{BE}\}$ совместной системы $BE$. Докажите соотношения

$$\begin{aligned}I(A\rangle B)_{\phi} & =\frac{1}{2}I(A;B)_{\phi}-\frac{1}{2}I(A;E)_{\phi},\\ H(A)_{\phi} & =\frac{1}{2}I(A;B)_{\phi}+\frac{1}{2}I(A;E)_{\phi}.\end{aligned}$$