Размерностные границы условной взаимной информации

Пусть $\rho_{ABC}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{A}\otimes\mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{C})$. Докажите размерностную оценку

$$I(A;B|C)_{\rho}\leq2\log\left[ \min\left\{ \dim(\mathcal{H}_{A}),\dim(\mathcal{H}_{B})\right\} \right] .$$

Пусть $\sigma_{XBC}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{X}\otimes\mathcal{H}_{B}\otimes\mathcal{H}_{C})$ — классически-квантово-квантовое состояние вида

$$\sum_{x}p_{X}(x)|x\rangle\langle x|_{X}\otimes\sigma_{BC}^{x}.$$

Докажите, что

$$I(X;B|C)_{\sigma}\leq\log\dim(\mathcal{H}_{X}).$$