Взаимная информация как минимум относительной энтропии

Пусть $\rho_{AB}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{A}\otimes\mathcal{H}_{B})$. Покажите, что справедливы тождества

$$\begin{aligned}I(A;B)_{\rho} & =D(\rho_{AB}\Vert\rho_{A}\otimes\rho_{B})\\ & =\min_{\sigma_{B}}D(\rho_{AB}\Vert\rho_{A}\otimes\sigma_{B})\\ & =\min_{\omega_{A}}D(\rho_{AB}\Vert\omega_{A}\otimes\rho_{B})\\ & =\min_{\omega_{A},\sigma_{B}}D(\rho_{AB}\Vert\omega_{A}\otimes\sigma_{B}),\end{aligned}$$

где оптимизация ведётся по $\omega_{A}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{A})$ и $\sigma_{B}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{B})$.