Когерентная и условная энтропии через относительную

Пусть $\rho_{AB}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{A}\otimes\mathcal{H}_{B})$. Покажите, что справедливы тождества

$$\begin{aligned}I(A\rangle B)_{\rho} & =D(\rho_{AB}\Vert I_{A}\otimes\rho_{B})\\ & =\min_{\sigma_{B}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{B})}D(\rho_{AB}\Vert I_{A}\otimes\sigma_{B}).\end{aligned}$$

Заметьте, что они равносильны соотношениям

$$\begin{aligned}H(A|B)_{\rho} & =-D(\rho_{AB}\Vert I_{A}\otimes\rho_{B})\\ & =-\min_{\sigma_{B}\in\mathcal{D}(\mathcal{H}_{B})}D(\rho_{AB}\Vert I_{A}\otimes\sigma_{B}).\end{aligned}$$