Энтропия ансамбля и энтропия среднего квантового состояния

Рассмотрим ансамбль $\left\{ p_{X}(x),|\psi_{x}\rangle\right\} $. Его средний оператор плотности равен

$$\rho\equiv\sum_{x}p_{X}(x)|\psi_{x}\rangle\langle\psi_{x}|.$$

Используя квантовое неравенство обработки данных, покажите, что энтропия Шеннона $H(X)$ не меньше квантовой энтропии среднего оператора плотности $\rho$:

$$H(X)\geq H(\rho).$$

(Указание. Начните с состояния с общей классической случайностью $\sum_{x}p_{X}(x)|x\rangle\langle x|_{X}\otimes|x\rangle\langle x|_{X^{\prime}}$ и примените канал приготовления к системе $X^{\prime}$.) Сделайте вывод, что энтропия Шеннона ансамбля строго больше квантовой энтропии, когда состояния ансамбля неортогональны.