Единственность сопряжённого отображения Петца

Пусть $\omega$ положительно полуопределён и $\left\langle A,B\right\rangle _{\omega}\equiv\operatorname{Tr}\{A^{\dag}\omega^{1/2}B\omega^{1/2}\}$. Сопряжённое к восстанавливающему отображению Петца относительно скалярного произведения Гильберта — Шмидта имеет вид

$$\mathcal{P}_{\sigma,\mathcal{N}}^{\dag}(M)=\left[ \mathcal{N}(\sigma)\right] ^{-1/2}\mathcal{N}\left( \sigma^{1/2}M\sigma^{1/2}\right) \left[ \mathcal{N}(\sigma)\right] ^{-1/2},$$

где $M\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$. Покажите, что $\mathcal{P}_{\sigma ,\mathcal{N}}^{\dag}$ — единственное линейное отображение с областью определения $\operatorname{supp}(\sigma)$ и областью значений $\operatorname{supp}(\mathcal{N}(\sigma))$, удовлетворяющее для всех $M\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$ и $Q\in\mathcal{L}(\mathcal{H}^{\prime})$ равенству

$$\left\langle M,\mathcal{N}^{\dag}(Q)\right\rangle _{\sigma}=\left\langle \mathcal{P}_{\sigma,\mathcal{N}}^{\dag}(M),Q\right\rangle _{\mathcal{N}(\sigma)}.$$

(Указание. Попробуйте взять $M=|i\rangle\langle j|$ и $Q=|k\rangle\langle l|$.)