Классические метки не увеличивают взаимную информацию канала

Пусть $\rho_{XAB}$ обозначает состояние вида

$$\rho_{XAB}\equiv\sum_{x}p_{X}(x)|x\rangle\langle x|_{X}\otimes\mathcal{N}_{A^{\prime}\rightarrow B}(\phi_{AA^{\prime}}^{x}).$$

Рассмотрим следующее альтернативное определение взаимной информации квантового канала:

$$I_{\operatorname{alt}}(\mathcal{N})\equiv\max_{\rho_{XAB}}I(AX;B),$$

где максимум берётся по состояниям вида $\rho_{XAB}$. Покажите, что

$$I_{\operatorname{alt}}(\mathcal{N})=I(\mathcal{N}).$$