Классическое кодирование для деполяризующего канала

О способе достижения классической пропускной способности деполяризующего канала можно сказать больше. Докажите, что её можно достичь, выбирая состояния из ансамбля $\left\{ \frac{1}{d},|x\rangle\langle x|\right\} $ и выполняя на выходе каждого канала полное проективное измерение в том же базисе. Иными словами, для этого достаточно этой простой схемы. (Указание. Сначала покажите, что классический канал $p_{Y|X}(y|x)$, возникающий при подаче состояния $|x\rangle$ на деполяризующий канал и измерении $|y\rangle$ на выходе, имеет вид

$$p_{Y|X}(y|x)=(1-p)\delta_{x,y}+\frac{p}{d}.$$

Затем покажите, что распределение $p_{Y}(y)$ равномерно, если $p_{X}(x)$ равномерно. Наконец, покажите, что

$$H(Y|X)=-\left( 1-p+\frac{p}{d}\right) \log\left( 1-p+\frac{p}{d}\right) -\left( d-1\right) \left( \frac{p}{d}\right) \log\left( \frac{p}{d}\right) .$$

Сделайте вывод, что классическая пропускная способность полученного канала $p_{Y|X}(y|x)$ совпадает с пропускной способностью квантового деполяризующего канала.)