Измерение Белла после деполяризующего канала

Рассмотрим следующую стратегию передачи и обнаружения классической информации по деполяризующему каналу с использованием запутанности. Алиса равновероятно выбирает состояние $\left\vert \Phi^{x_{1},z_{1}}\right\rangle _{AB}$ и посылает систему $A$ по квантовому деполяризующему каналу $\mathcal{N}_{A\rightarrow B^{\prime}}^{\operatorname{D}}$, где

$$\mathcal{N}_{A\rightarrow B^{\prime}}^{\operatorname{D}}(\rho)\equiv(1-p)\rho+p\pi.$$

Боб получает выход $B^{\prime}$ и объединяет его со своей частью $B$ запутанной системы. Затем он измеряет эти системы в базисе Белла $\left\{ \vert \Phi^{x_{2},z_{2}}\rangle \langle \Phi^{x_{2},z_{2}}\vert _{B^{\prime}B}\right\} $. Упростите выражение для возникающего классического канала $p_{Z_{2}X_{2}|Z_{1}X_{1}}(z_{2},x_{2}|z_{1},x_{1})$, где

$$p_{Z_{2}X_{2}|Z_{1}X_{1}}(z_{2},x_{2}|z_{1},x_{1})\equiv\left\langle \Phi^{x_{2},z_{2}}\right\vert \left( \mathcal{N}_{A\rightarrow B^{\prime}}^{\operatorname{D}}\otimes\operatorname{id}_{B}\right) \left( \vert \Phi^{x_{1},z_{1}}\rangle \langle \Phi^{x_{1},z_{1}}\vert _{AB}\right) \left\vert \Phi^{x_{2},z_{2}}\right\rangle .$$

Покажите, что классическая пропускная способность канала $p_{Z_{2}X_{2}|Z_{1}X_{1}}(z_{2},x_{2}|z_{1},x_{1})$ равна классической пропускной способности деполяризующего канала при наличии общей запутанности (формулу для последней можно считать известной). Таким образом, для достижения пропускной способности получателю достаточно измерять каждую выходную пару в базисе Белла, без коллективного измерения многих выходов канала.