Диагонализация входа обобщённой дефазировки

Докажите, что для обобщённого дефазирующего канала $\mathcal{N}_{D}$, дополнительного к нему канала $\mathcal{N}_{D}^{c}$, канала полной дефазировки $\overline{\Delta}$ и всех входных состояний $\rho$ выполняются соотношения

$$\begin{aligned}\mathcal{N}_{D}(\overline{\Delta}(\rho)) & =\overline{\Delta}(\mathcal{N}_{D}(\rho)),\\ \mathcal{N}_{D}^{c}(\overline{\Delta}(\rho)) & =\mathcal{N}_{D}^{c}(\rho).\end{aligned}$$

Сделайте вывод, что

$$\begin{aligned}H(\rho) & \leq H(\overline{\Delta}(\rho)),\\ H(\mathcal{N}_{D}(\rho)) & \leq H(\overline{\Delta}(\mathcal{N}_{D}(\rho)))=H(\mathcal{N}_{D}(\overline{\Delta}(\rho))),\\ H(\mathcal{N}_{D}^{c}(\rho)) & =H(\mathcal{N}_{D}^{c}(\overline{\Delta}(\rho))),\end{aligned}$$

поэтому для дефазирующего канала достаточно рассматривать диагональные входные состояния.