Область скоростей открытой связи, закрытой связи и секретного ключа

Рассмотрим ресурсы открытой классической связи

$$ \left[ c\rightarrow c\right] _{\operatorname{pub}}, $$

закрытой классической связи

$$ \left[ c\rightarrow c\right] _{\operatorname{priv}}, $$

и общего секретного ключа

$$ \left[ cc\right] _{\operatorname{priv}}. $$

Открытая классическая связь эквивалентна следующему каналу:

$$ \rho\rightarrow\sum_{i}\langle i\vert\rho\vert i\rangle \vert i\rangle\langle i\vert_{B}\otimes\sigma_{E}^{i}, $$

так что у подслушивающей Евы возникают некоторые корреляции с передаваемым состоянием $\rho$. Закрытая классическая связь эквивалентна каналу

$$ \rho\rightarrow\sum_{i}\langle i\vert\rho\vert i\rangle \vert i\rangle\langle i\vert_{B}\otimes\sigma_{E}, $$

так что состояние Евы независимо от информации, которую получает Боб. Наконец, секретный ключ — состояние вида

$$ \overline{\Phi}_{AB}\otimes\sigma_{E}\equiv\left( \frac{1}{d}\sum_{i}\vert i\rangle\langle i\vert_{A}\otimes\vert i\rangle\langle i\vert_{B}\right) \otimes\sigma_{E}, $$

так что Алиса и Боб имеют максимальную классическую корреляцию, а состояние Евы от неё независимо. Эти три классических ресурса связывают три протокола. Распределение секретного ключа расходует закрытый канал без шума для генерации секретного ключа без шума. Его ресурсное неравенство имеет вид

$$ \left[ c\rightarrow c\right] _{\operatorname{priv}}\geq\left[ cc\right] _{\operatorname{priv}}. $$

Протокол одноразового блокнота использует общий секретный ключ и открытый канал без шума для получения закрытого канала без шума (бит ключа просто складывают по модулю два с битом, который хочет передать отправитель; если ключ совершенно секретен, этот протокол доказуемо невозможно взломать). Его ресурсное неравенство имеет вид

$$ \left[ c\rightarrow c\right] _{\operatorname{pub}}+\left[ cc\right] _{\operatorname{priv}}\geq\left[ c\rightarrow c\right] _{\operatorname{priv}}. $$

Наконец, закрытая классическая связь может имитировать открытую классическую связь, если предположить, что у Боба есть локальный регистр, в который он может поместить информацию, а затем передать его Еве. Её ресурсное неравенство имеет вид

$$ \left[ c\rightarrow c\right] _{\operatorname{priv}}\geq\left[ c\rightarrow c\right] _{\operatorname{pub}}. $$

Покажите, что эти три протокола заполняют оптимальную достижимую область в пространстве открытой классической связи, закрытой классической связи и секретного ключа. Для доказательства оптимальности используйте три постулата: (1) одна открытая классическая связь не позволяет получить секретный ключ или закрытую классическую связь, (2) один секретный ключ не позволяет получить открытую или закрытую классическую связь и (3) суммарное чистое число полученных использований открытого битового канала и битов секретного ключа не может превышать числа израсходованных использований закрытого битового канала.