Измерение,достигающее следового расстояния

Докажите, что измерение достигает следового расстояния в следующем смысле:

$$ \left\Vert \rho-\sigma\right\Vert _{1}=\max_{\left\{ \Lambda_{x}\right\} }\sum_{x}\left\vert \operatorname{Tr}\{\Lambda_{x}\rho\}-\operatorname{Tr}\{\Lambda_{x}\sigma\}\right\vert , $$

где $\rho,\sigma\in\mathcal{D}(\mathcal{H})$, а максимум берётся по всем обобщённым измерениям $\{\Lambda_{x}\}$. Подсказка. Используя монотонность следового расстояния, докажите для любого обобщённого измерения оценку

$$ \left\Vert \rho-\sigma\right\Vert _{1}\geq\sum_{x}\left\vert \operatorname{Tr}\{\Lambda_{x}\rho\}-\operatorname{Tr}\{\Lambda_{x}\sigma\}\right\vert . $$

Затем воспользуйтесь рассуждениями из доказательства вариационного представления следового расстояния, чтобы построить оптимальное измерение, на котором достигается эта граница. (Дополнительная подсказка. Рассмотрите измерение $\{\Pi_{P},\Pi_{Q}\}$.)