Сильная выпуклость следового расстояния

Покажите, что следовое расстояние обладает свойством сильной выпуклости. Иными словами, для двух ансамблей $\left\{ p_{X_{1}}(x),\rho_{x}\right\} $ и $\left\{ p_{X_{2}}(x),\sigma_{x}\right\} $, для которых $\rho_{x},\sigma_{x}\in\mathcal{D}(\mathcal{H})$ при всех $x$, выполняется неравенство

$$\begin{gathered} \left\Vert \sum_{x}p_{X_{1}}(x)\rho_{x}-\sum_{x}p_{X_{2}}(x)\sigma _{x}\right\Vert _{1}\\ \leq\sum_{x}\left\vert p_{X_{1}}(x)-p_{X_{2}}(x)\right\vert +\sum_{x}p_{X_{1}}(x)\left\Vert \rho_{x}-\sigma_{x}\right\Vert _{1}. \end{gathered}$$