Отделение запутанной пары от окружения

Пусть Алиса с помощью шумного квантового канала и последовательности квантовых каналов создаёт следующее состояние, общее с Бобом и Евой:

$$ \frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{m}|m\rangle_{A}\left\vert m\right\rangle _{B_{1}}\left\vert \phi_{m}\right\rangle _{B_{2}E}, $$

где $\{|m\rangle_{A}\}$ и $\{|m\rangle_{B_{1}}\}$ — ортонормированные базисы, а $\{|\phi_{m}\rangle_{B_{2}E}\}$ — набор состояний. Алиса владеет системой $A$, Боб — системами $B_{1}$ и $B_{2}$, а Ева — системой $E$. Обозначим через $\phi_{E}^{m}$ частичный след $\left\vert \phi_{m}\right\rangle _{B_{2}E}$ по системе Боба $B_{2}$, так что

$$ \phi_{E}^{m}\equiv\operatorname{Tr}_{B_{2}}\left\{ \vert\phi_{m}\rangle\langle\phi_{m}\vert_{B_{2}E}\right\} . $$

Предположим далее, что $F( \phi_{E}^{m},\theta_{E}) =1$, где $\theta_{E}$ — некоторый постоянный (не зависящий от $m$) оператор плотности системы Евы $E$. Определите унитарный оператор, который Боб может применить к своим системам $B_{1}$ и $B_{2}$, чтобы отделить систему Евы $E$ в том смысле, что после действия этого оператора состояние имеет вид

$$ \left( \frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{m}|m\rangle_{A}\left\vert m\right\rangle _{B_{1}}\right) \otimes\left\vert \phi_{\theta}\right\rangle _{B_{2}E}, $$

где $\left\vert \phi_{\theta}\right\rangle _{B_{2}E}$ — очищение состояния $\theta_{E}$. В результате после применения Бобом этого унитарного оператора системы $A$ и $B_{1}$ Алисы и Боба максимально запутаны между собой. На рисунке показан протокол.