Почему расстояние Гильберта—Шмидта не измеряет различимость

Существуют явные контрпримеры к монотонности расстояния Гильберта — Шмидта. Пусть $A=|01\rangle\langle00|+|11\rangle\langle10|$ и $B=|01\rangle \langle01|+|11\rangle\langle11|$ — операторы Крауса канала $\mathcal{N}(\omega)=A\omega A^{\dagger}+B\omega B^{\dagger}$. Рассмотрим состояния $\rho=|0\rangle\langle0|\otimes\pi$ и $\sigma=|1\rangle \langle1|\otimes\pi$, где $\pi=I/2$. Сначала убедитесь, что $\mathcal{N}$ — квантовый канал, а затем прямым вычислением покажите, что в этом примере $\left\Vert \rho-\sigma\right\Vert _{2}<\left\Vert \mathcal{N}(\rho)-\mathcal{N}(\sigma)\right\Vert _{2}$. С другой стороны, пусть $\rho=|0\rangle\langle0|$, $\sigma=|1\rangle\langle1|$ и $\mathcal{N}(\omega)=\frac{1}{2}\left( \omega+X\omega X\right) $. Покажите, что в этом втором примере $\left\Vert \rho-\sigma\right\Vert _{2}>\left\Vert \mathcal{N}(\rho)-\mathcal{N}(\sigma)\right\Vert _{2}$. Вывод: не используйте расстояние Гильберта — Шмидта как меру различимости!