Две щели и распределение импульса

В опыте с двумя щелями расстояние между ними равно $d$, ширина каждой щели $w<d$, причём $w,d>0$. Волновая функция частицы в плоскости щелей имеет вид $$\psi(x)=\begin{cases}C,&-d/2-w/2\le x\le-d/2+w/2,\\C,&d/2-w/2\le x\le d/2+w/2,\\0,&\text{в остальных случаях}.\end{cases}$$ Первые две строки соответствуют щелям a и b.

(a) Найдите нормировочную постоянную $C$.

(b) Найдите $\langle x\rangle$ и $\langle x^2\rangle$ в пределе $w\ll d$, то есть отбросьте в конечном ответе члены порядка $w/d$ и выше.

(c) Вычислите плотность вероятности получить при измерении импульс частицы в интервале $[p,p+dp]$. Не предполагайте, что $w\ll d$.

(d) Качественно объясните, как изменится интерференционная картина на далёком экране, если волновая функция примет вид $$\psi(x)=\begin{cases}C,&-d/2-w/2\le x\le-d/2+w/2,\\Ce^{i\varphi},&d/2-w/2\le x\le d/2+w/2,\\0,&\text{в остальных случаях}.\end{cases}$$ с некоторой фиксированной вещественной фазой $\varphi$. Можно обойтись без вычислений или выполнить простой расчёт для двух щелей. Можно считать, что $w$ мало по сравнению с длиной волны де Бройля частицы $\lambda_{\mathrm{dB}}$, а $d\gg w,\lambda_{\mathrm{dB}}$.