Операторы гармонического осциллятора

Пусть $|0\rangle$ — нормированное основное состояние гармонического осциллятора, заданное условиями $\hat a|0\rangle=0$ и $\langle0|0\rangle=1$, где $\hat a$ — оператор понижения (уничтожения), а $\hat a^\dagger$ — оператор повышения (рождения).

(a) Покажите, что длина ненормированного $n$-го собственного состояния $|\tilde n\rangle\equiv(\hat a^\dagger)^n|0\rangle$ равна $\sqrt{n!}$.

(b) Из (a) следует, что нормированное $n$-е собственное состояние равно $|n\rangle=(\hat a^\dagger)^n|0\rangle/\sqrt{n!}$. Проверьте ортонормированность этих состояний, то есть покажите, что $\langle n|m\rangle=\delta_{nm}$.

(c) Покажите, что $\hat a|n\rangle=\sqrt n|n-1\rangle$ и $\hat a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$.

(d) Определим $\hat n=\hat a^\dagger\hat a$. Покажите, что $\hat n$ эрмитов и, следовательно, представляет измеримую величину. Вычислите $\hat n|n\rangle$. Какую физическую величину представляет $\hat n$? Каковы его собственные значения и собственные состояния?

(e) Выразите $\hat x$ и $\hat p$ через $\hat a$ и $\hat a^\dagger$. Вычислите $\langle m|\hat x|n\rangle$ и $\langle m|\hat p|n\rangle$ и покажите, что они обращаются в нуль, если $m\ne n\pm1$.

(f) Выразите $\hat x^2$ и $\hat p^2$ через $\hat a$ и $\hat a^\dagger$. Покажите, что в $n$-м собственном состоянии гармонического осциллятора произведение неопределённостей равно $\Delta x\Delta p=\hbar(2n+1)/2$.