Когерентные состояния гармонического осциллятора

Состояние $|\alpha\rangle$, удовлетворяющее уравнению $\hat a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$ при произвольном комплексном числе $\alpha$, называется когерентным состоянием.

(a) Покажите, что $\hat a(\hat a^\dagger)^n|0\rangle=n(\hat a^\dagger)^{n-1}|0\rangle$.

(b) Покажите, что когерентное состояние можно записать в виде $|\alpha\rangle=C\exp(\alpha\hat a^\dagger)|0\rangle$, где $C$ — нормировочная постоянная. Оператор $\exp(\alpha\hat a^\dagger)$ определяется своим рядом Тейлора.

(c) Вычислите нормировочную постоянную $C$.

(d) Разложите когерентное состояние по нормированным собственным состояниям $|n\rangle$ и вычислите вероятность найти осциллятор в $n$-м собственном состоянии (то есть обнаружить $n$ квантов в системе). Должно получиться распределение Пуассона.

(e) Вычислите среднее число квантов $\langle n\rangle=\langle\alpha|\hat n|\alpha\rangle$ в когерентном состоянии.

Когерентные состояния — наиболее близкий квантовый аналог классических состояний с определёнными амплитудой и фазой. Их используют, например, для квантового описания света лазера или поля радиочастотного генератора. Эти состояния подходят и для описания классического гармонического осциллятора с большим средним квантовым числом $\langle n\rangle$.