Свободное расплывание гауссова волнового пакета

Свободная частица массы $m$ имеет начальную волновую функцию
$$\psi(x,0)=\frac{e^{-x^2/(4w_0^2)}}{(2\pi)^{1/4}\sqrt{w_0}},$$
где начальная ширина пакета $w_0$ — вещественная положительная постоянная. Преобразование Фурье $\psi(x,0)$ равно
$$\phi(k,0)=\frac{e^{-k^2/(4k_0^2)}}{(2\pi)^{1/4}\sqrt{k_0}},\qquad k_0=1/(2w_0).$$

(a) Покажите, что в более поздний момент волновая функция равна
$$\psi(x,t)=\frac{\sqrt{w_0}}{(2\pi)^{1/4}\chi(t)}\exp\!\left[-\frac{x^2}{4\chi(t)^2}\right],$$
где комплексная величина, характеризующая пакет в момент $t$, есть $\chi(t)=w_0\sqrt{1+i\hbar t/(2mw_0^2)}$. Используйте то, что в свободном пространстве собственные функции импульса являются и собственными функциями энергии.

(b) Найдите $|\psi(x,t)|^2$ и покажите, что это гауссов пакет. Какова его вещественная ширина $w(t)$, если записать плотность вероятности в виде
$$|\psi(x,t)|^2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,w(t)}e^{-x^2/(2w(t)^2)}?$$
Зависит ли ширина $w(t)$ при больших временах от начальной ширины $w_0$?

(c) Найдите эволюцию волновой функции в представлении волнового числа $\phi(k,t)$. Запишите плотность вероятности $|\phi(k,t)|^2$ и покажите, что со временем она не расплывается. Постройте графики $|\psi(x,t)|^2$ и $|\phi(k,t)|^2$ и объясните в одном-двух предложениях, как волновая функция может расплываться в координатном пространстве, сохраняя ширину в импульсном, если одно представление связано с другим преобразованием Фурье.

Пригодится формула $\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x-\beta)^2}dx=\sqrt{\pi/\alpha}$ для комплексных $\alpha,\beta$ при $\operatorname{Re}\alpha>0$.