Сопряжённые операторы и произведение координаты на импульс

Для оператора $\hat A$ определим эрмитово сопряжённый оператор $\hat A^\dagger$ равенством
$$\int_{-\infty}^{\infty}(\hat A^\dagger\psi_1(x))^*\psi_2(x)\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}\psi_1^*(x)\hat A\psi_2(x)\,dx$$
для любых двух волновых функций $\psi_1(x),\psi_2(x)$. Как обычно, оператор действует на функции справа от него, а скобки в левой части указывают, что $\hat A^\dagger$ действует только на $\psi_1(x)$.

(a) Покажите, что в любом состоянии $\langle\hat A^\dagger\rangle=\langle\hat A\rangle^*$.

(b) Покажите, что для любых двух операторов $\hat A,\hat B$ выполняется $(\hat A\hat B)^\dagger=\hat B^\dagger\hat A^\dagger$.

(c) Оператор называется самосопряжённым или эрмитовым, если $\hat A^\dagger=\hat A$. Покажите, что все собственные значения эрмитова оператора вещественны.

(d) Покажите, что если $\hat A,\hat B$ эрмитовы, то и $\hat A\hat B+\hat B\hat A$ эрмитов.

(e) Покажите, что для частицы, движущейся в одном измерении, оператор $\hat x\hat p$ не эрмитов. Постройте эрмитов оператор, соответствующий этому физически наблюдаемому произведению.