Потенциал из матрицы рассеяния

Пучок частиц массы $m$ с волновым числом $k$ и энергией $E=\hbar^2 k^2/(2m)>0$ рассеивается на неизвестном одномерном потенциале $V(x)$, стремящемся к нулю в обоих направлениях. После многочисленных измерений установлено, что матрица рассеяния системы очень хорошо приближается выражением

$$S=\frac{1}{\eta^2+g^2(1-e^{2i\eta})}\begin{pmatrix}2g(g+i\eta)i\sin\eta&\eta^2\\\eta^2&2g(g-i\eta)i\sin\eta\end{pmatrix}.$$

Здесь $\eta=2kL$. Параметры $L,g$ подобраны по данным. Узнайте о потенциале как можно больше.

(a) Инвариантен ли $V(x)$ при отражении $x\mapsto-x$? Кратко объясните.

(b) Найдите вероятность прохождения слева направо $T_{LR}$ и справа налево $T_{RL}$. Можно использовать

$$|\eta^2+g^2(1-e^{2i\eta})|^2=\eta^4+4g^2(g^2+\eta^2)\sin^2\eta.$$

(c) Есть ли резонансы? Если да, перечислите соответствующие $\eta$; если нет, объясните.

(d) Как ведёт себя $T_{LR}$ при малой и большой энергии? Если предел нулевой, найдите ведущий член.

(e) Нарисуйте $T_{LR}(\eta)$ при характерном $g$, явно отметив особенности из(c,d).

(f) Если существуют связанные состояния $E<0$, по матрице рассеяния выведите уравнение $f(\beta)=g^2$, где $\beta=L\sqrt{-2mE}/\hbar$. Не пытайтесь решать его аналитически.

(g) Решите уравнение графически. Сколько связанных состояний поддерживает потенциал? Зависит ли их число от $g$?

(h) Перечислите установленные свойства и предложите потенциал $V(x)$, который мог бы давать эту матрицу.