Ротор и сложение независимых моментов

Планета свободно движется по сфере и образует симметричный жёсткий ротор с моментом инерции $I$. Её орбитальный момент обозначим $\mathbf L$. Классическая энергия равна $E=\mathbf L^2/(2I)$.

(a) Найдите собственные значения энергии и назовите собственные функции; их явный функциональный вид не требуется.

(b) Какова кратность вырождения $n$-го энергетического уровня, то есть сколько разных состояний имеют одну энергию?

Теперь планета несёт также внутренний момент $\mathbf S$ с коммутаторами $[S_x,S_y]=i\hbar S_z$ и циклическими перестановками. Он независим от орбитального момента: $[L_i,S_j]=0$. Полный момент

$$\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S,\qquad J^2=L^2+S^2+2\mathbf L\cdot\mathbf S.$$

(c) Существует ли совместное собственное состояние $L^2,L_z,S^2,S_z$? Подсказка: вычисления не нужны.

(d) Существует ли совместное собственное состояние $J^2,L^2$? А $J^2,S^2$?

(e) Существует ли совместное собственное состояние $J^2,L_z$? А $J^2,S_z$?

(f) Существует ли совместное собственное состояние $J^2,J_z$?

$\mathbf S$ может описывать собственное вращение планеты, как у Земли, либо движение по малому эпициклу — дополнительной окружности. Для задачи существенно лишь то, что это независимый момент с указанными коммутаторами. Не презирайте эпициклы! Это всего лишь усечённый ряд Фурье. Покомпонентно $J_x=L_x+S_x$ и $\mathbf L\cdot\mathbf S=L_xS_x+L_yS_y+L_zS_z$.