Устойчивость классической модели атома водорода

Предположим, что мир действительно подчиняется классической механике. В такой вселенной можно было бы попытаться построить атом водорода, поместив электрон на круговую орбиту вокруг протона. Однако нерелятивистский электрический заряд, движущийся с ускорением, излучает энергию со скоростью, задаваемой формулой Лармора
$$\frac{dE}{dt}=-\frac23\frac{q^2a^2}{c^3}$$
в системе СГС, где $q$ — заряд, а $a$ — модуль ускорения. Таким образом, классический атом неустойчив. Насколько велик этот эффект?

(a) Покажите, что потеря энергии за оборот мала по сравнению с кинетической энергией электрона. Поэтому в каждый момент орбиту с хорошей точностью можно считать круговой, хотя в конце концов электрон по спирали падает на протон.

(b) Используя характерные размеры атома (1 Å) и ядра (1 фм), вычислите, сколько времени потребовалось бы электрону, чтобы по спирали упасть на протон.

(c) Сравните скорость электрона на орбите радиуса 0,5 Å со скоростью света. Существенно ли изменят ваши выводы релятивистские поправки?

(d) Как меняется энергия электрона при приближении к протону? Есть ли у неё минимальное возможное значение?