Радиационный коллапс классического атома

В классической вселенной можно было бы попытаться построить атом водорода, поместив электрон на круговую орбиту вокруг протона. Однако нерелятивистский электрон, движущийся с ускорением, излучает энергию со скоростью, которую задаёт формула Лармора:
$$\frac{dE}{dt}=-\frac23\frac{e^2a^2}{c^3}.$$
Здесь $e$ — заряд электрона, а $a$ — модуль его ускорения. Поэтому классический атом может оказаться неустойчивым. Выясним, насколько велик этот эффект. В используемых единицах потенциальная энергия электрона в поле протона равна $V=-e^2/r$, а модуль силы притяжения — $e^2/r^2$.

(a) Покажите, что для нерелятивистского электрона потеря энергии $\Delta E$ за оборот мала по сравнению с его кинетической энергией $K$. Для этого вычислите отношение $\Delta E/K$. Следовательно, в каждый момент орбиту можно считать круговой, хотя в конце концов электрон по спирали упадёт на протон.

(b) Оценка размера атома водорода составляет 50 пм (пикометров), а ядра — 1 фм (фемтометр). Сравните скорость электрона, вычисленную по классической модели, со скоростью света для орбит радиусами 50 пм, 1 пм и 1 фм.

(c) Вычислите время движения электрона по спирали от 50 пм до 1 пм. Оправдано ли пренебрежение релятивистскими поправками? Сильно ли изменился бы ответ в нерелятивистском приближении при движении от 50 пм до 1 фм?

(d) Что происходит с энергией электрона по мере приближения к протону? Есть ли минимальное значение, которое может принимать энергия электрона?