Сдвиг энергии из-за конечного размера ядра

При изучении атома водорода предполагалось, что кулоновский потенциал продолжается до самого начала координат. В действительности заряд протона распределён по сфере радиуса примерно $10^{-13}\,\text{см}$. Это немного влияет на уровни энергии водорода. Выясним величину эффекта.

Считайте заряд протона равномерно распределённым по шару радиуса $R$. Тонкой структурой, лэмбовским сдвигом и сверхтонким расщеплением водорода в этой задаче можно пренебречь.

(a) Найдите электростатическую потенциальную энергию электрона при всех $r$.

[Указание: по закону Гаусса $\vec\nabla\cdot\vec E=4\pi\rho$ найдите электрическое поле всюду, а затем проинтегрируйте силу $\vec F=-e\vec E$, чтобы получить потенциальную энергию.]

Ответ должен давать $V(r)=-e^2/r$ при $r>R$; при всех $r$ функция $V(r)$ непрерывна.

(b) В низшем порядке теории возмущений вычислите сдвиг энергии основного состояния водорода из-за изменения потенциала. Найдите численное значение при $R=10^{-13}\,\text{см}$ и выразите его как долю энергии связи основного состояния, равной $13.6\,\text{эВ}$. [Указание: невозмущённая волновая функция слабо меняется на интервале $0<r<R$, поэтому в интегралах её можно заменить значением при $r=0$.]

(c) Почему эффект наиболее значителен для состояний с нулевым орбитальным моментом? Без вычислений оцените множитель, на который эффект меньше для состояния с $\ell=1$ по сравнению с состоянием с $\ell=0$.

(d) Наиболее точное экспериментальное значение радиуса протона получено в эксперименте PSI:

$$R=0.84184(67)\times10^{-13}\,\text{см}.\tag{5}$$

[R. Pohl et al., «The size of the proton», Nature 466, 213 (2010).] Это измерение вызвало споры, поскольку на 4% отличалось от мирового среднего значения CODATA: $R=0.8768(69)\times10^{-13}\,\text{см}$. Отвлекаясь от расхождения, объясните, почему в эксперименте PSI смогли получить столь высокую точность, используя мюонный водород — связанное состояние мюона и протона — вместо обычного водорода, состоящего из электрона и протона. [Указание: свойства мюона практически те же, что у электрона, но он в 206.8 раза тяжелее.]