Минимальное собственное значение после деполяризации

Рассмотрите деполяризующую квантовую операцию

$$\mathcal D(\rho)=(1-p)\rho+\frac p3\sum_{a=x,y,z}\sigma_a\rho\sigma_a^\dagger,$$

где $0\leq p<3/4$. Её применяют к матрице плотности $\rho_{\mathrm{in}}$, получая $\rho_{\mathrm{out}}=\mathcal D(\rho_{\mathrm{in}})$. Докажите, что минимально возможное собственное значение выходной матрицы плотности равно $2p/3$.

Подсказка: используйте тождество

$$\frac14\rho+\frac14\sum_{a=x,y,z}\sigma_a\rho\sigma_a^\dagger=\frac I2,$$

где $I$ — единичная матрица.