Кодирование состояния минус квантовым кодом Хэмминга

Для квантового кода Хэмминга покажите, что вектор $|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt2$ кодируется как

$$\begin{aligned} \frac14\biggl(&\sum_{x\in\{H\}}|x\rangle\\ &-\sum_{x\in\{G\}-\{H\}}|x\rangle\biggr). \end{aligned}$$

где $\{H\}$ — двоичное подпространство, порождённое строками матрицы

$$H=\begin{pmatrix} 1&1&1&1&0&0&0\\ 1&1&0&0&1&1&0\\ 1&0&1&0&1&0&1 \end{pmatrix},$$

а $\{G\}-\{H\}$ — множество побитовых дополнений векторов из $\{H\}$, то есть $\{H\}+[1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1]$.