Порядок операторов рождения и уничтожения

(A) Рассмотрим интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}\psi_v^*(x)(a^\dagger)^4a^3\psi_{v'}(x)dx$. При каких $v-v'$ он отличен от нуля? Такие условия называют правилами отбора.

(B) Пусть $v'=4$, а $v$ имеет значение из A, при котором интеграл ненулевой. Вычислите значение интеграла. Не упрощайте результат.

(C) Теперь рассмотрим $\int_{-\infty}^{\infty}\psi_v^*(x)a^\dagger aa^\dagger aa^\dagger aa^\dagger\psi_{v'}(x)dx$. Те же ли правила отбора для $v'-v$, что в A? Такое ли значение имеет ненулевой интеграл при $v'=4$, как в B? Если нет, вычислите интеграл, не упрощая результат.

(D) Выведите соотношение коммутации $[\hat N,a]$ из определения $\hat N$.