Уровни и вероятности в бесконечной яме со ступенью

Рассмотрим потенциал $V(x)=\infty$ при $x<0$ или $x>a$, $V(x)=0$ при $0\le x\le a/2$ и $V(x)=V_0=4h^2/(8ma^2)$ при $a/2<x\le a$. Это энергия уровня $n=1$ бесконечной ямы ширины $a/2$.

(A) Нарисуйте $V(x)$ в зависимости от $x$.

(B) Каковы граничные условия для $\psi(x)$ при $x=0$ и $x=a$?

(C) Какие условия должны выполняться при $x=a/2$?

(D) Найдите собственные функции гамильтониана и уровни энергии для $n=2$ (один узел) и $n=3$ (два узла). Указания: (i) при $0\le x\le a/2$ имеем $\psi_I(x)=A\sin k_Ix$, $k_I=\sqrt{2mE}/\hbar$; (ii) при $a/2<x\le a$ имеем $\psi_{II}=B\sin k_{II}(a-x)$, $k_{II}=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$; (iii) $\psi_I(a/2)=A\sin(k_Ia/2)$, $\psi_{II}(a/2)=B\sin(k_{II}a/2)$, $\psi'_I(a/2)=Ak_I\cos(k_Ia/2)$, $\psi'_{II}(a/2)=+Bk_{II}\cos(k_{II}a/2)$.

(E) Сравните полученные $E_2$ и $E_3$ с результатом условия квантования де Бройля $n/2=(a/2)/\lambda_{n,I}+(a/2)/\lambda_{n,II}$, где $\lambda=h/p=2\pi/k=h[2m(E-V(x))]^{-1/2}$.

(F) Для уровней $n=2$ и $n=3$ каковы вероятности $P_2$ и $P_3$ обнаружить частицу в области $0\le x\le a/2$?

(G, необязательно) Будут ли для уровней $n=2$ и $n=3$ энергии одинаковы в потенциалах $V_1$ и $V_2$, определённых ниже, как можно ожидать по пункту E? Почему? У обоих потенциалов бесконечные стенки при $x<0$ и $x>a$. У $V_1$ барьер находится справа: $V_1=0$ при $0\le x\le a/2$ и $V_1=V_0$ при $a/2<x\le a$. У $V_2$ барьер в центре: $V_2=0$ при $0\le x\le a/4$ и $3a/4\le x\le a$, а $V_2=V_0$ при $a/4<x\le3a/4$.

(H) Найдите $\psi_1(x)$ и $E_1$ для $V_1$. Указание: при $a/2<x\le a$ имеем $\psi_{II}(x)=Be^{\kappa_{II}(a-x)}+Ce^{-\kappa_{II}(a-x)}$, где $\kappa_{II}=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$.

(I, необязательно) Выше или ниже $E_1$ для $V_1$, чем для $V_2$? Почему? Может помочь схематический рисунок.