Базис Паули и экспонента спиновых операторов

(a) Покажите, что комплексные матрицы размера $N\times N$ образуют векторное пространство размерности $N^2$.
(b) Покажите, что $\operatorname{Tr}(A^\dagger B)$ задаёт скалярное произведение в этом пространстве.
(c) Покажите, что базис пространства матриц размера $2\times2$ образуют матрицы

$$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad\sigma_3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$

Как с их помощью построить ортонормированный базис?
(d) Найдите спектр и собственные векторы каждой матрицы из (c).
(e) Докажите, что $\exp(i\theta\,\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n)=\cos\theta+i\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf n\sin\theta$, где $\mathbf n$ — единичный трёхмерный вектор.
(f) Докажите, что для векторных операторов $\mathbf A,\mathbf B$, коммутирующих с $\boldsymbol\sigma$, выполняется $(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf A)(\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf B)=(\mathbf A\cdot\mathbf B)\mathbf1+i\boldsymbol\sigma\cdot\mathbf A\times\mathbf B$.