Два направления измерения спина

Оператор измерения спина частицы со спином 1/2 вдоль оси, параллельной произвольному единичному вектору $\hat{\mathbf n}$, имеет вид $S_n=\mathbf S\cdot\hat{\mathbf n}$, где $S_i=\sigma_i\hbar/2$ для $i=1,2,3$, а $$\sigma_1=\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_2=\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad\sigma_3=\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$ Эти операторы используются в следующих задачах.

(a) В опыте Штерна — Герлаха измерение спина электрона вдоль оси $z$ ($S_z$) дало собственное значение $\hbar/2$. С какой вероятностью следующее измерение спина вдоль $\hat{\mathbf n}=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)$ даст $\hbar/2$? (b) Измерение вдоль оси $\hat{\mathbf n}$ дало $\hbar/2$. С какой вероятностью следующее измерение вдоль оси $z$ даст $\hbar/2$?