Направление фильтра Штерна — Герлаха

Оператор измерения спина частицы со спином 1/2 вдоль оси, параллельной произвольному единичному вектору $\hat{\mathbf n}$, имеет вид $S_n=\mathbf S\cdot\hat{\mathbf n}$, где $S_i=\sigma_i\hbar/2$ для $i=1,2,3$, а $$\sigma_1=\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_2=\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad\sigma_3=\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$ Эти операторы используются в следующих задачах.

Пучок, созданный фильтром Штерна — Герлаха, содержит электроны в одном и том же спиновом состоянии $|\alpha\rangle=s_+|+\rangle+s_-|-\rangle$, где $|+\rangle,|-\rangle$ — собственные состояния $S_z$ с собственными значениями $\pm\hbar/2$. Часть пучка проходит через анализатор, ориентированный по оси $z$, и даёт $\langle S_z\rangle=0$. Другая часть проходит через анализатор, ориентированный по оси $x$, и даёт $\langle S_x\rangle=\hbar/4$. (a) Вычислите $\langle S_y\rangle$. (b) Каковы возможные направления ориентации первоначального фильтра Штерна — Герлаха?