Какие ансамбли можно различить

Состояние $|\psi_i\rangle=\alpha_{i1}|1\rangle+\cdots+\alpha_{in}|n\rangle$ встречается с вероятностью $p_i$, где $i=1,\ldots,m$ и $\sum_i p_i=1$. Матрица плотности этого ансамбля имеет вид

$$\rho=\sum_{i=1}^{m}p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|,\qquad \rho_{jk}=\sum_{i=1}^{m}p_i\alpha_{ij}\alpha_{ik}^*.$$

(a) Докажите, что при измерении в стандартном базисе исход $|i\rangle$ имеет вероятность $\rho_{ii}$.

(b) Докажите, что унитарное преобразование $U$ даёт матрицу $U\rho U^\dagger$.

(c) Покажите, что никакой эксперимент не различает два ансамбля с одной и той же матрицей плотности. В частности, рассмотрите равномерный выбор между $|0\rangle$ и $|1\rangle$ и равномерный выбор между $(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt2$ и $(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt2$. Под экспериментом здесь можно понимать унитарное преобразование и следующее за ним измерение в стандартном базисе.

(d) Дополнительный вопрос. Докажите, что для двух ансамблей с разными матрицами плотности имеется эксперимент, который их различает.