Почему нормы квантовой и классической теории отличаются

Назовём линейное преобразование $A\in\mathbb R^{n\times n}$ тривиальным, если $A=PD$, где $P$ — матрица перестановки, а $D$ — диагональная матрица.

(a) Докажите, что все линейные преобразования $\mathbb R^n$, сохраняющие 4-норму, тривиальны. Подсказка. Запишите условие сохранения $\sum_i\alpha_i^4$ через элементы матрицы. Какой части этих ограничений достаточно?

(b) Обобщите результат на $k$-нормы для всех чётных $k\ge4$.

(c) Дополнительный вопрос. Докажите, что нет нетривиального линейного преобразования, сохраняющего 1-норму всех вещественных векторов, если разрешены также векторы с отрицательными компонентами.