Измерение для различения двух состояний

(a) Даны два возможных входа: $|\psi\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$ и $|\phi\rangle=a|0\rangle-b|1\rangle$, где $a,b$ вещественны и $a^2+b^2=1$. Покажите, что существует измерение, которое верно определяет вход с вероятностью $(a+b)^2/2$.

(b) Для двух чистых состояний с коэффициентами $\alpha_i,\beta_i$ их скалярное произведение равно $\sum_{i=1}^N\alpha_i^*\beta_i$. Докажите, что унитарное преобразование его сохраняет.

(c) Теперь каждое из двух произвольных чистых состояний подаётся с вероятностью $1/2$. Покажите, что существует измерение с вероятностью правильного ответа $\tfrac12+\tfrac12\sqrt{1-|\langle\psi|\phi\rangle|^2}$. Подсказка. С помощью симметрии сведите задачу к (a).