Следовое расстояние и ошибка измерения

Матрица плотности — эрмитова положительно полуопределённая матрица $N\times N$ со следом 1. Её диагональные элементы задают вероятности результатов измерения в стандартном базисе. При преобразовании $U$ она переходит в $U\rho U^{-1}$. Для двух матриц следовое расстояние задаётся выражением

$$D(\rho,\sigma)=\tfrac12\sup_U\operatorname{tr}|U\rho U^{-1}-U\sigma U^{-1}|,$$

где супремум берётся по унитарным матрицам, а модуль в этой записи применяется поэлементно.

(a) Докажите, что $0\le D(\rho,\sigma)\le1$.

(b) Если измерение принимает $\rho$ с вероятностью $p$, а $\sigma$ с вероятностью $q$, докажите, что $|p-q|\le D(\rho,\sigma)$.

(c) Докажите, что для чистых состояний $D=\sqrt{1-|\langle\psi|\phi\rangle|^2}$.

(d) Объединив (b) и (c), докажите оптимальность различения двух равновероятных чистых состояний: вероятность ошибки любого измерения не меньше $(1-\sqrt{1-|\langle\psi|\phi\rangle|^2})/2$.