Волновая функция в переходе Джозефсона

Сверхпроводник можно моделировать макроскопической волновой функцией $\Psi(\mathbf r,t)=\sqrt{n_s}e^{i\theta(\mathbf r,t)}$, нормированной на плотность сверхпроводящих электронов $n_s$. Обычно $n_s$ не зависит от положения и времени, и меняется только фаза. Рассмотрите два сверхпроводника, разделённые изолирующим слоем, и его потенциал, показанные на рисунках. Пусть $E<V_0$, $\Psi(-a)=\sqrt{n_s}e^{i\theta_1}$, $\Psi(a)=\sqrt{n_s}e^{i\theta_2}$. (1) Обоснуйте, что в изоляторе $|x|<a$ функция имеет вид $\psi=C_1\cosh(x/\zeta)+C_2\sinh(x/\zeta)$. Выразите $\zeta$ через $E,V_0$ и постоянные. (2) Плотность тока равна заряду $-2e$, умноженному на плотность потока вероятности. Масса носителей $m_s=2m_e$. Покажите, что $J_s=-[2e\hbar/(m_s\zeta)]\operatorname{Im}(C_1^*C_2)$, $C_1=\sqrt{n_s}(e^{i\theta_1}+e^{i\theta_2})/[2\cosh(a/\zeta)]$ и $C_2=-\sqrt{n_s}(e^{i\theta_1}-e^{i\theta_2})/[2\sinh(a/\zeta)]$.