Матрицы Паули и гамильтониан спина

Рассмотрим три матрицы Паули и единичную матрицу: $$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\quad \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad \sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.$$ (a) Обоснуйте, что любую эрмитову матрицу размера $2\times2$ можно записать как линейную комбинацию этих четырёх матриц. Запишите через них гамильтониан $$\hat H=\begin{pmatrix}\bar E-\Delta&V\\ V^*&\bar E+\Delta\end{pmatrix}.$$ (b) Покажите, что $\sigma_i\sigma_i=I$, $\sigma_x\sigma_y=i\sigma_z$, $\sigma_y\sigma_z=i\sigma_x$, $\sigma_z\sigma_x=i\sigma_y$. (c) Спин электрона можно записать в виде $\mathbf S=(\hbar/2)(\sigma_x\mathbf i_x+\sigma_y\mathbf i_y+\sigma_z\mathbf i_z)$. Выпишите гамильтониан $\mu\mathbf B\cdot\mathbf S$, где $\mathbf B$ — магнитное поле. (d) Собственные векторы $\sigma_z$ равны $(1,0)^T$ и $(0,1)^T$. Найдите собственные векторы $\sigma_x$ и $\sigma_y$.