Двумерный электронный газ у поверхности транзистора

Смоделируем, как электроны вблизи поверхности МОП-транзистора превращаются в двумерный электронный газ. Электроны зоны проводимости считаем свободными, заключёнными в ящик длины $L$ по направлениям $y$ и $z$, с линейным потенциалом по $x$: по $x$ потенциал $e\mathcal E x$ при $x\ge0$, по $y,z$ — нулевой при $0<y<L$, $0<z<L$, вне этих областей — бесконечный. Вблизи поверхности оксида $x=0$ поле $\mathcal E\approx10^8$ В/м. (a) Обоснуйте выражение $E=E_N^x+\hbar^2k_y^2/(2m^*)+\hbar^2k_z^2/(2m^*)$, где $E_N^x$ — собственные энергии одномерного потенциала $e\mathcal E x$ при $x\ge0$. Пусть первые три такие энергии уже найдены. Как примерно выглядит $\psi(x,y,z)$ и какие значения принимают $k_y,k_z$? (b) При $E_{N,1}^x\le E\le E_{N,2}^x$ электрон находится в первой подзоне. Объясните, почему электроны в ней ведут себя как двумерный газ свободных частиц. (c) Какова максимальная поверхностная плотность частиц, помещающихся в первую подзону? (d) Если известны волновые функции, как оценить расстояние двумерного газа от поверхности $x=0$ и толщину слоя? (e) Изобразите плотность состояний на единицу площади и энергии при $0<E<E_{N,4}^x$.