Почему у атома водорода есть характерный размер

Простой, но тонкий аргумент утверждает, что наблюдаемый размер атома водорода минимизирует его полную энергию. Предполагается, что размер состояния с меньшей энергией сравним с длиной волны де Бройля электрона. Бо́льший размер означает бо́льшую длину волны и меньшие импульс и кинетическую энергию. При меньшем размере ниже потенциальная энергия, поскольку потенциальная яма наиболее глубока вблизи протона. Наблюдаемый размер соответствует компромиссу, минимизирующему полную энергию. Разверните этот аргумент.

(a) Запишите классическое выражение для полной энергии атома водорода, если электрон с импульсом $p$ движется по круговой орбите радиуса $r$. Запишите кинетическую и потенциальную энергии отдельно.

(b) Несостоятельность классической минимизации энергии. По закону силы получите полную энергию как функцию радиуса. Какой радиус отвечает наименьшей возможной энергии?

(c) Для состояния с наименьшей энергией потребуйте, чтобы длина окружности орбиты равнялась одной длине волны де Бройля. Получите полную энергию как функцию радиуса. Заметьте, что при большем радиусе кинетическая энергия уменьшается, а потенциальная растёт, и наоборот.

(d) Найдите производную энергии по радиусу и радиус минимума. Покажите, что это боровский радиус $a_0$, а энергия совпадает с энергией наинизшего состояния по Бору.

Замечание. Точное совпадение связано с тем, что длина волны де Бройля приравнена именно к длине окружности орбиты. Сам аргумент устанавливает лишь приближённую связь между размером системы и длиной волны. Если принять за «размер системы» радиус или диаметр, результат отличался бы множителем порядка 2 или $\pi$; от такой оценки и не следует ожидать лучшей точности.