Свободный гауссов пакет и наиболее вероятный импульс

Частица массы $m$ имеет начальную волновую функцию $\Psi(x,0)=(2a/\pi)^{1/4}e^{-ax^2}$, где $a>0$ вещественно. В отличие от плоских волн — собственных функций гамильтониана свободной частицы — этот гауссов пакет нормируем.

(a) Вычислите преобразование Фурье $\Psi(x,0)$ и покажите, что оно равно $\tilde\psi(k)=(1/(2a\pi))^{1/4}e^{-k^2/(4a)}$. Каков наиболее вероятный импульс частицы? Указание: выделите полный квадрат в показателе экспоненты.
(b) Используя (a), покажите, что эволюция задаётся формулой
$$\Psi(x,t)=\left(\frac{2a}{\pi}\right)^{1/4}\frac{\exp[-ax^2/(1+2i\hbar at/m)]}{\sqrt{1+2i\hbar at/m}}.$$
Указание: снова выделите полный квадрат.
(c) Вычислите плотность вероятности $|\Psi(x,t)|^2$. Это гауссово распределение, расширяющееся со временем.