Времена жизни урана-238 и полония-212

В приближении ВКБ, пользуясь теорией альфа-распада Гамова, рассчитайте времена жизни ядер урана-238 и полония-212.

Подсказки. Поскольку плотность ядерного вещества примерно постоянна (т. е. одинакова для всех ядер), можно воспользоваться эмпирическим соотношением $R_{\rm ядра}\approx A^{1/3}$ фм, где 1 фм = $10^{-13}$ см, а $A$ — массовое число (число протонов плюс число нейтронов). Энергию испускаемой альфа-частицы даёт формула Эйнштейна $E=mc^2$: $E=m_pc^2-m_dc^2-m_\alpha c^2$, где $m_p$ — масса материнского ядра, $m_d$ — масса дочернего ядра, $m_\alpha$ — масса альфа-частицы (ядра гелия-4). Рекомендуемые атомные массы в атомных единицах массы: гелий-4 — 4,00260325; свинец-208 — 207,9766359; полоний-212 — 211,9888518; торий-234 — 234,0435955; уран-238 — 238,0507826.

Для оценки скорости $v$ альфа-частицы внутри ядра используйте $E=m_\alpha v^2/2$. Эта оценка пренебрегает отрицательным потенциалом внутри ядра и занижает $v$, но служит разумным первым приближением. Для сравнения, экспериментально определённые времена жизни равны $4{,}5\cdot10^9$ лет и $3{,}0\cdot10^{-7}$ с соответственно.