Разделение движения центра масс и относительного движения

Изолированная система состоит из двух частиц, взаимодействующих посредством потенциала, который зависит только от расстояния между ними. В трёх измерениях гамильтониан равен
$$H=\frac{\mathbf p_1^2}{2m_1}+\frac{\mathbf p_2^2}{2m_2}+V(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=-\frac{\hbar^2}{2m_1}\nabla_1^2-\frac{\hbar^2}{2m_2}\nabla_2^2+V(|\mathbf r_1-\mathbf r_2|).$$

(a) Перейдите к координатам центра масс и относительным координатам $\mathbf R=(m_1\mathbf r_1+m_2\mathbf r_2)/(m_1+m_2)$, $\mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2$ и покажите, что гамильтониан принимает вид $H=-\hbar^2\nabla_R^2/(2M)-\hbar^2\nabla_r^2/(2\mu)+V(r)$, где полная масса $M=m_1+m_2$, а приведённая масса $\mu=m_1m_2/(m_1+m_2)$. Рассчитайте приведённую массу системы из протона и электрона (в МэВ/$c^2$).
(b) С помощью разделения переменных покажите, что решения уравнения $H\Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=E\Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)$ можно искать в виде $\Psi(\mathbf r_1,\mathbf r_2)=\phi(\mathbf R)\psi(\mathbf r)$. Покажите, что по переменной $\mathbf R$ получается уравнение Шрёдингера для свободной частицы, и решите его.